matlab单摆轨迹,Matlab软件在单摆自由振动中的应用

0引言自由振动是指系统在振动过程中不受激励作用的振动,可分为无阻尼振动和阻尼振动[1]。单摆在不受激励时是最简单的自由振动模型,在大角度摆动时,动力学方程是非线性的[2],因此会表现出非线性系统的复杂行为,是经典力学通向非线性力学的桥梁。非线性力学不借助Matlab软件的微分方程求解及可视化功能是很难说明的[3-9]。本文利用Matlab软件[10-11]研究了单摆自由振动时的一些问题,主要包括:大角度自由振动单摆周期与角振幅的关系曲线、大角度自由振动单摆的相图、大角度阻尼振动单摆的相图和弹簧单摆的微分方程求解及动画效果,从而直观地显示了单摆在不同条件下自由振动时的运动情况。1大角度自由振动单摆周期与角振幅的关系曲线分析一个机械结构的振动特性时需要去掉某些次要因素,把其简化为动力学模型,同时确定其自由度数。以摆动为例,最简单的是保守力场中无阻尼的单摆模型,设悬线长为l、摆角为(<5),取摆长l=1、重力加速度g=9.8,可以计算出单摆小角摆动时的微分方程为d2dt2=-gl(1)令gl=20,有d2dt2+20=0(2)式(2)是单摆小角摆动时的微分方程,也是简谐振动的动力学方程,式(2)的解为=Acos(0t+)(3)式中,A、是由初值条件来决定的待定常数。若大角度摆动,不能近似用sin,微分方程由式(1)改为d2dt2+glsin=0(4)小角度单摆的周期为T0=2l槡g(5)改变摆角的大小,用数值计算法和相图法研究大角度单摆的周期变化。通过求解式(4)的数值解和已有的实验研究[12],得到在大摆角下单摆周期与角振幅的关系T=T01+14sin2()2(6)利用Matlab画图我们可以清楚的看到大角度单摆的周期变化,结果如图1、2所示。图1大角度单摆的周期变化图2不同摆角的位移曲线图1表示角振幅A(最大摆角)在(0,/2)内变化时相对应的周期变化,随着角振幅增大,周期不断变大。图2说明在无阻尼情况下,小角度和大角度单摆都呈周期性变化,角振幅越大周期越长。图1和图2所表现的结果符合式(6)。2大角度自由振动单摆的相图在单摆的摆动问题中,系统自由度为1,选取广义坐标来描述单摆的运动。系统动能为T=12m(l)2,势能为V=mgl(1-cos),能量关系为E=T+V(7)由式(7)可以得到角速度=2glEmgl-1+cos()槡(8)令e=E/mgl,相差一个常数因子,可以取2gl=1,认为=e-1+cos槡(9)式(8)给出了角度和角速度的关系,使用Matlab软件,根据式(9)画出图3中单摆不同能量下的运动状态。相图是相平衡系统和一些参数(能量、角度、角速度)的关系图,图像可以方便地判断系统的稳定性,渐近稳定性等。E<2mgl,单摆能量较小,其轨迹为一闭合的椭圆曲线。E>2mgl,摆在势场中作定向运动,其轨迹是两条不相交的曲线,可以趋向。E=2mgl,运动出现了临界状态(图3中曲线的交点,即鞍图3不同能量单摆的相图点),下一刻的运动具有不确定性,由此出现了非线性现象[13],在非线性振动中,轻微扰动会使系统出现间断和分岔。3大角度阻尼振动单摆的相图如果考虑阻尼影响,将式(4)改为d2dt2+ddt+glsin=0(10)式中:ddt表示阻力;是阻尼系数。将式(10)化为二维的自治动力系统==--sin{(11)对于耗散系统,研究的是系统长时间的行为。根据式(11),用Matlab软件绘制阻尼振动单摆的相图。图4(a)中说明单摆的在耗散系统中出现了混沌,这种集合环绕形象称为“奇怪吸引子”。对于相图中的混沌轨道,可以看出在保守系统中能量的耗散。比较