1 素數定理

??我們已經知道有無窮多個素數，也知道有無窮多個合數。那到底哪個數多呢？我們可以通過計數函數來比較它們。

??素數的計數函數被稱為$\pi (x)$，這里的$\pi$是“prime”的縮寫。它計數不超過$x$的素數的數量，即：
π(x)=#{素數p:p≤x}\pi(x) = \#\{素數p:p\le x\} π(x)=#{素數p:p≤x}
例如，$\pi (10)=4$，下表給出了$\pi (x)$與$\pi (x)/x$的值

看起來，$x$越大，$\pi (x)/x$越小。假設這種模式繼續持續下去，我們就有理由說“大多數整數不是素數”。這就進一步提出$\pi (x)/x$以怎樣的速度減小的問題。下述定理給出了答案，它是19世紀數論取得的最高成就之一。

??定理（素數定理）：當$x$很大時，小于$x$的素數個數近似等于$x/\ln (x)$，換句話說：
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\ln (x)}=1$$

??下表比較了一下這個值：

??大約在1800年，通過檢查類似的表，高斯與勒讓德獨立地提出素數定理成立的猜想。1896年，阿達馬和Ch. de la vallee Poussin各自證明了素數定理。證明需要用到復分析方法。令人驚訝的是，有關整數的定理的證明不得不使用微積分作為工具，解析數論這一數學分支專用微積分方法證明數論定理。

2 哥德巴赫猜想

??每個偶數$n\ge 4$可表成兩個素數之和。

??哥德巴赫在1742年6月7日給歐拉的一封信中提出這個猜想。不難驗證哥德巴赫猜想對前幾個偶數成立。現在使用計算機，人們已經對$2?10^{10}$以下的偶數驗證了哥德巴赫猜想。數學家甚至能夠證明與哥德巴赫猜想相似的結論。1937年，維諾格拉朵夫證明了每個（充分大的）奇數$n$可表成三個素數之和。1966年陳景潤證明了每個（充分大的）偶數可表成$p+a$的形式，其中$p$是素數，$a$是素數或兩個素數的乘積。

3 孿生素數猜想

??存在無窮多個素數$p$使得$p+2$也是素數。

??素數很不規則，相鄰兩個素數之間常常會有很大間隙。似乎有相當多的場合使素數$p$緊隨另一個素數$p+2$。這些數對被稱為孿生素數，例如：
$$(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)?$$
??人們用計算機查找大的孿生素數，其中包括像：
$$(242206083?2^{38880}?1,242206083?2^{38880}+1)$$
組成的巨大孿生素數對。1966年，陳景潤證明存在無窮多個素數$p$使得$p+2$是素數或兩個素數的乘積。

4 $N^2+1$猜想

??存在無窮多個形如$N^2+1$的素數。

??如果$N$是奇數，則$N^2+1$是偶數，所以它不可能是素數，除非$N=1$，然而，如果$N$是偶數，則$N^2+1$似乎經常是素數。$N^2+1$猜想說明這種情況無窮次發生。前幾個這種形式的素數是：
$$2^2+1=5,4^2+1=17,6^2+1=37,?$$

??目前已知的最好結果由Hendrik Iwaniec于1978年證明。他證明存在無窮多個$N$使得$N^2+1$是素數或兩個素數的乘積。

??盡管沒有人知道是否存在無窮多個孿生素數或無窮多個形如$N^2+1$的素數，但是數學家們猜測它們的計數函數很像。設：
T(x)=#{使得p+2也是素數的素數p≤x}S(x)=#{使得p的形式為N2+1的素數p≤x}T(x) =\#\{使得p+2也是素數的素數p\le x\} \\ S(x) =\#\{使得p的形式為N^2+1的素數p\le x\} T(x)=#{使得p+2也是素數的素數p≤x}S(x)=#{使得p的形式為N2+1的素數p≤x}
人們猜測：
$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{T(x)}{x/(\ln (x){)}^2}=C \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{S(x)}{\sqrt{x}/\ln (x)}=C^{\prime } \end{gathered}$$

5 參考資料

《數論概論》第四版 P60-P62