剪切应力张量

2023-09-05 阅读 95 评论 0

摘要：文章目录剪切应力方程可压缩流不可压缩流剪切应力方程对于剪切应力张量 ⃗\vec \tau，其九个分量定义如下：其中， \kappa -体积粘度，这种粘度对于稠密的气体和液体并不重要，在许多文献中被忽略了;\mu-动力粘度;\lambda- 膨胀粘度(dilata

文章目录

- 剪切应力方程
- 可压缩流
- 不可压缩流

剪切应力方程

对于剪切应力张量 $τ⃗\vec \tau$ ，其九个分量定义如下：
在这里插入图片描述
其中，

$κ\kappa$ -体积粘度，这种粘度对于稠密的气体和液体并不重要，在许多文献中被忽略了;
$μ\mu$ -动力粘度;
$λ\lambda$ - 膨胀粘度(dilatation term)，大小为 $23μ\frac23\mu$ .

根据N-S方程，有：
$∂(ρU)∂t+∇⋅(ρUU)=−∇⋅τ−∇p+ρg\frac{\partial( \rho \mathbf U)}{\partial t}+\nabla \cdot {(\rho\mathbf U \mathbf U ) }=-\nabla \cdot \mathbf \tau -\nabla p+\rho \mathbf g$
对于各向同性流体，形变率 $D\mathbf D$ :
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则 $τ\tau$ （RHS的第一项的负号与剪切应力张量前面的负号相互抵消，令其变为正值）：

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此时， $λ=−23μ\lambda=-\frac23\mu$ 。这里，我们令 $κ\kappa$ =0,则：

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若将压力梯度项放入剪切应力张量中，可得到柯西应力张量（Cauchy stress tensor） $σ\sigma$ :

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可压缩流

对于可压缩流，连续性方程为：
$∂ρ∂t+∇⋅(ρU)=0\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \mathbf U)=0$
拆分为：
在这里插入图片描述
将剪切应力 $τ\tau$ 引入，则：
$τ=2μD−23μ(∇⋅U)I=2μD−23μ(−1ρ[∂ρ∂t+U⋅∇ρ])I⏟‘膨胀粘度项‘\tau=2\mu \mathbf D-\frac23\mu(\nabla \cdot \mathbf U)\mathbf I\\[2ex] \qquad \qquad\qquad\quad=2\mu \mathbf D \underbrace{ -\frac23\mu \left(-\frac 1\rho[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf U\cdot \nabla\rho]\right) \mathbf I }_{`膨胀粘度项`}$
该项主要与体积的膨胀和压缩有关。

不可压缩流

对于不可压缩流体来讲， $ρ=constant\rho=constant$ ，膨胀粘度项可忽略。方程两边同时除以密度，有：

$∂U∂t+∇⋅(UU)=∇⋅τρ−∇pρ+g\frac{\partial \mathbf U}{\partial t}+\nabla \cdot {(\mathbf U \mathbf U ) }=\nabla \cdot \frac { \tau}{ \rho}-\nabla \frac p{\rho}+ \mathbf g$
令 $p=pρp=\frac p \rho$ （运动压力）， $τ=τρ\tau=\frac{\tau}{\rho}$ ,
$∂U∂t+∇⋅(UU)=∇⋅τ−∇p+g\frac{\partial \mathbf U}{\partial t}+\nabla \cdot {(\mathbf U \mathbf U ) }=\nabla\cdot {\mathbf \tau} -\nabla p+ \mathbf g$

此时，
$τ=2νD\tau=2\;\nu \mathbf D$

其散度项

$∇⋅τ=∇⋅[ν(∇U+(∇U)T)‾]=∇⋅(ν∇U)+∇U⋅∇ν\nabla\cdot\tau=\nabla\cdot\left[\nu\underline{(\nabla\mathbf U+(\nabla\mathbf U)^T)}\right]=\nabla\cdot(\nu\nabla\mathbf U)+\nabla \mathbf U\cdot\nabla \nu$